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Mode lecture article sur le site Philippe Brouard / ingénieur artiste

26 avril 2023

Calculs des combinatoires, à l'aise Blaise

Découverte du triangle arithmétique

Il y a environ 350 ans, le mathématicien et philosophe Blaise Pascal https://fr.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal rassemblait dans un traité la description détaillée d'une belle trouvaille : son nom est resté dans l'histoire, il s'agit du triangle de Pascal. Ce triangle a plus d'un tour dans son sac, c'est certain !

Pour être exact, ce triangle est une sorte de demi-table avec des nombres, des versions antérieures au traité de Pascal existent dans des pays d'Asie. Mais sans doute que Pascal est le premier chercheur à en avoir extrait autant de propriétés. L'une d'elles concerne la théorie des combinaisons, c'est celle qui m'a interpellé pour commencer. Grâce à Blaise Pascal nous allons savoir sans efforts combien faut-il de cartes pour former environ 100 paires différentes.

Retour aux sources avec Gallica

Une des merveilles d'internet est celle de pouvoir consulter des livres anciens, numérisés par la BnF, accessibles via Gallica. Place à l'auteur, voici un extrait du traité http://ark.bnf.fr/ark:/12148/cb310628771 sa lecture n'est pas si ardue que ça. J'ai mis en évidence en violet et en bleu des informations qui faciliteront la compréhension des exemples donnés.

Image article, Quelques extraits du traité d'arithmétique publié en 1665, pages 22, 26 et 6
Quelques extraits du traité d'arithmétique publié en 1665, pages 22, 26 et 6

fin

Maintenant, comment trouver la réponse à ma question initiale (combien de cartes pour faire 100 paires différentes) ? La réponse est dans le triangle, quelque part sur un rang 3 (3 = 2+1) ! Dans le traité original, le rang 3 contient les nombres croissants suivants : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36. Ce dernier 36 est sur la ligne de base 10. Il faut donc consulter un triangle de Pascal plus grand pour avoir la réponse. En recherchant sur internet, on trouve une multitude de versions. Les nombres suivants du rang 3 sont 45, 55, 66, 78, 91, 105. On remarque que l'intervalle entre deux nombres consécutifs du rang 3 augmente de 1 à chaque fois. Il n'y a pas le nombre 100. Le nombre 105 se situe sur la ligne de base 16. Ça veut dire qu'il faut au moins 15 cartes (15 = 16-1) pour faire 100 paires différentes. Merci Blaise.

Fichier joint (390ko), cliquez pour agrandir :
Avertissement du traité
miniature fichier image


Pour finir avec une note étonnante, voici la page d'avertissement en ouverture de la publication. On y découvre que c'est par chance que le livre a pu voir le jour, Blaise Pascal est mort bien jeune.

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