Donald Coxeter, pionnier du voyage non-euclidien

Petit retour en arrière avec Henri Poincaré

• Imaginez un vase, infiniment haut, dont le profil serait celui d'une parabole.
• Imaginez que ce vase est entièrement décoré par un motif périodique.
• Imaginez enfin que vous regarder la vase par en dessous.
• Vous aurez alors l'impression de voir tout le vase inscrit dans un cercle.

La projection de ce vase sur une surface plane est appelée le disque de Beltrami-Poincaré, théorie qui été élaborée  vers 1880. En voici un schéma pas trop compliqué (Figure 24), tiré d'une présentation du professeur Sarah Hart, au Gresham College en 2017. Le vase correspond au dessin en vert. La courbe marron est une géodésique autrement dit une ligne qui va tout droit sur cette surface, autrement dit une droite dans le plan parabolique du vase. La courbe rouge correspond à la projection de la ligne marron sur le disque. Cette courbe a une forme d'arc de cercle qui rejoint le disque à son extrémité en formant un angle droit. Toutes les géodésiques de ce vase parabolique ont cette même forme. Il est alors assez facile de contredire le postulat d'Euclide car on trouve facilement deux lignes en un point distant d'une ligne initiale et qui ne la coupent jamais, illustration dans le deuxième graphique.

Mais à quoi ça sert ?

C'est au tour du géomètre Donald Coxeter d'intervenir dans cette histoire. C'est un artiste lui aussi quelque part. Il disait :

No one asks artists why they do what they do. I'm like any artist, it's just that the obsession that fills my mind is shapes ans patterns.

En 1954, il a visité une exposition de M.C. Escher lors d'un symposium mathématique qui s'est tenu en Hollande. Il a bien apprécié cette découverte, étant reparti avec quelques estampes achetées à l'artiste. Trois ans plus tard il a écrit à Escher pour lui demander l'autorisation d'utiliser une image pour illustrer une conférence qu'il donnait au Canada. Pour remercier Escher de son autorisation à utiliser une de ses créations, il lui envoya une copie de la transcription de sa conférence, avec un schéma innovant de mise en pratique du disque de Beltrami-Poincaré. Ce fut alors au tour d'Escher d'être impressionné par la figure n°7 de Coxeter, quel duo ! En 1958 Escher répondit à Coxeter :

Though the text of your article on "Crystal Symmetry and its Generalizations" is much too learned for a simple, self-made plane pattern-man like me, some of the text illustrations and especially Figure 7, [that is, Figure A] gave me quite a shock. Since a long time I am interested in patterns with "motifs" getting smaller and smaller till they reach the limit of infinite smallness. The question is relatively simple if the limit is a point in the center of a pattern. Also, a line-limit is not new to me, but I was never able to make a pattern in which each "blot" is getting smaller gradually from a center towards the outside circle-limit, as shows your Figure 7.

La correspondance a continué entre les deux chercheurs, ce qui permis à Escher de créer la série d'estampes Circle Limit I à IV.

Explorations non-euclidiennes modernes

L'exploration non-euclidienne ne s'arrête pas là. Les mathématiciens continuent à explorer des mondes à plusieurs dimensions où la géométrie est hyperbolique. Avec la puissance de calcul des ordinateurs, c'est maintenant possible de faire une promenade dans ses environnements étranges. C'est ce qu'on peut voir avec le travail de Rémi Coulon (Directeur de recherche CNRS à l'Institut de Mathématiques de Bourgogne), dans cette conférence filmée à l'Université de Lorraine.